O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX

Em 1931, Kurt Gödel desferiu um golpe devastador nos matemáticos de sua época

Em 1931, o jovem matemático Kurt Gödel fez uma descoberta-marco, tão poderosa quanto qualquer coisa que Albert Einstein desenvolveu.

A descoberta de Gödel não se aplica somente à matemática, mas literalmente a todos os ramos da ciência, lógica e conhecimento humano. Ela tem verdadeiramente implicações que abalam a Terra.

Estranhamente, poucas pessoas sabem qualquer coisa sobre ela.

Permita-me contar-lhe a história.

Os matemáticos adoram provas. Eles estavam furiosos e chateados por séculos, porque eles eram incapazes de PROVAR algumas das coisas que eles sabiam que era verdade.

Por exemplo: se você estudou geometria no colégio, você fez os exercícios onde você prova todos os tipos de coisas sobre os triângulos, baseado em uma lista de teoremas.

Aquele livro de geometria do colégio é feito sobre os cinco postulados de Euclides. Todos sabem que os postulados são verdadeiros, mas em 2500 anos ninguém imaginou um meio de prová-los.

Sim, parece sim perfeitamente razoável que uma linha possa ser estendida infinitamente em ambas as direções, mas ninguém tem sido capaz de PROVAR isso. Nós só podemos demonstrar que eles são um conjunto de 5 suposições razoáveis e de fato necessárias.

Grandes gênios matemáticos estavam frustrados por mais de 2000 anos porque eles não podiam provar todos os seus teoremas. Havia muitas coisas que eram “obviamente” verdade, mas ninguém conseguia imaginar um meio de prová-los.

No início dos anos 1900, entretanto, um tremendo senso de otimismo começou a crescer nos círculos matemáticos. Os matemáticos mais brilhantes do mundo (como Bertrand Russell, David Hilbert e Ludwig Wittgenstein) estavam convencidos que estavam rapidamente se aproximando de uma síntese final.

Uma “Teoria de Tudo” unificada, que finalmente amarraria todos os pontos soltos. A matemática seria completa, à prova de balas, hermética, triunfante.

Em 1931, este jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, publicou um artigo que de uma vez por todas PROVOU que uma única Teoria de Tudo é realmente impossível.

A descoberta de Gödel foi chamada de “O Teorema da Incompletude”.

Se você me der alguns minutos, eu lhe explicarei o que ele diz, como Gödel o descobriu e o que ele significa – em português simples e direto que qualquer um pode entender.

O Teorema da Incompletude de Gödel diz:

“Qualquer coisa em que você pode desenhar um círculo ao redor não pode ser explicada por si mesma sem se referir a algo fora do círculo – algo que você tem que assumir mas não pode provar.”

Expresso em Linguagem Formal: O teorema de Gödel diz: “Qualquer teoria efetivamente gerada capaz de expressar aritmética elementar não pode ser tanto consistente quanto completa. Em particular, para qualquer teoria formal consistente e efetivamente gerada que prova certas verdades aritméticas básicas, existe uma afirmação aritmética que é verdadeira, mas que não pode ser provada em teoria.” A Tese de Church-Turing diz que um sistema físico pode expressar aritmética elementar assim como um humano pode, e que a aritmética de uma Máquina de Turing (um computador) não pode ser provado dentro do sistema e é igualmente sujeito à incompletude. Qualquer sistema físico sujeito a medição é capaz de expressar aritmética elementar. (Em outras palavras, crianças podem fazer matemática contando em seus dedos, uma água fluindo para um balde faz integração e sistemas físicos sempre dão a resposta certa.) Portanto, o Universo é capaz de expressar aritmética elementar e, tanto como a própria matemática e uma máquina de Turing, é incompleto. Silogismo: 1. Todos os sistemas computacionais não-triviais são incompletos. 2. O Universo é um sistema computacional não-trivial. 3. Portanto, o Universo é incompleto.

Você pode desenhar um círculo ao redor de todos os conceitos no seu livro de geometria do colégio. Mas eles são todos feitos sobre os 5 postulados de Euclides que claramente são verdade mas que não podem ser provados. Esses 5 postulados estão fora do livro, fora do círculo.

Você pode desenhar um círculo ao redor de uma bicicleta, mas a existência dessa bicicleta depende de uma fábrica que está fora do círculo. A bicicleta não pode explicar a si mesma.

Gödel provou que há SEMPRE mais coisas que são verdadeiras do que você pode provar. Qualquer sistema de lógica ou números que os matemáticos possam trazersempre se baseará em pelo menos umas poucas suposições que não podem ser provadas.

O Teorema da Incompletude de Gödel não se aplica somente à matemática, mas a tudo que está sujeito às leis da lógica. A incompletude é verdade na matemática, e é igualmente verdade na ciência, na linguagem ou na filosofia.

E, se o Universo é matemático e lógico, a Incompletude também se aplica ao Universo.

Gödel criou sua prova começando com o “Paradoxo do Mentiroso” — que é a afirmação:

“Eu estou mentindo.”

“Eu estou mentindo” é autocontraditória, já que, se é verdade, eu não sou um mentiroso, e, se é falsa, eu sou um mentiroso, então é verdade.

Então Gödel, em um dos movimentos mais engenhosos da história da matemática, converteu o Paradoxo do Mentiroso em uma fórmula matemática. Ele provou que qualquer afirmação requer um observador externo.

Nenhuma afirmação sozinha pode completamente provar a si mesma como verdadeira.

O seu Teorema da Incompletude foi um golpe devastador no “positivismo” da época. Gödel provou o seu teorema preto no branco, e ninguém podia discutir com a sua lógica.

Ainda assim, alguns de seus amigos matemáticos foram para o túmulo negando, acreditando que de alguma forma ou outra Gödel deveria certamente estar errado.

Ele não estava errado. Era mesmo verdade. Existem mais coisas que são verdade do que você pode provar.

Uma “teoria de tudo” – seja na matemática, na física ou na filosofia – nunca será encontrada. Porque é impossível.

OK, o que isso então realmente significa? Por que isso é superimportante, e não apenas um factoide geek?

Isso é o que significa:

• Fé e Razão não são inimigas. Na verdade, o exato oposto é verdade! Uma é absolutamente necessária para que a outra exista. Todo o raciocínio ao final leva de volta à fé em algo que você não pode provar.
• Todos os sistemas fechados dependem de algo fora do sistema.
• Você pode sempre desenhar um círculo maior, mas existirá sempre algo fora do círculo.
• O raciocínio de um círculo maior para um menor é “raciocínio dedutivo.”

Exemplo de um raciocínio dedutivo:
1. Todos os homens são mortais
2. Sócrates é um homem
3. Portanto, Sócrates é mortal

• O raciocínio de um círculo menor para um maior é “raciocínio indutivo.”

Exemplos de raciocínio indutivo:

1. Todos os homens que conheço são mortais
2. Portanto, todos os homens são mortais

1. Quando eu largo objetos, eles caem
2. Portanto, há uma lei da gravidade que governa objetos de caem

Note que quando você se move do círculo menor para o maior, você tem que fazer suposições que não pode provar 100%.

Por exemplo: você não pode PROVAR que a gravidade sempre será consistente todas as vezes. Você só pode observar que ela é consistentemente verdadeira toda vez. Você não pode provar que o Universo é racional. Você só pode observar que fórmulas matemáticas como E = mc² parecem sim descrever perfeitamente o que o Universo faz.

Praticamente todas as leis científicas estão baseadas no raciocínio indutivo. Estas leis apoiam-se em uma afirmação de que o Universo é lógico e baseado em leis fixas que podem ser descobertas.

Você não pode PROVAR isto. (Você não pode provar que o sol virá amanhã de manhã também.) Você literalmente tem que usar a fé. Na verdade, a maioria das pessoas não sabem que além do círculo da ciência existe um círculo da filosofia. A ciência está baseada em suposições filosóficas que você não pode provar cientificamente. Realmente, o método científico não pode provar, só pode inferir.

(A ciência originalmente surgiu da ideia de que Deus fez um Universo ordenado que observa leis fixas e que podem ser descobertas.)

Agora por favor considere o que acontece quando desenhamos o maior círculo possível – ao redor de todo o Universo. (Se existem múltiplos universos, nós estamos desenhando um círculo ao redor deles todos também.):

• Tem que existir algo fora desse círculo. Algo que nós temos que assumir mas não podemos provar.
• O Universo como nós conhecemos é finito – matéria finita, energia finita, espaço finito e 13,7 bilhões de anos de idade.
• O Universo é matemático. Qualquer sistema físico sujeito a medição executa a aritmética. (Você não precisa conhecer matemática para fazer uma adição – você pode usar um ábaco em vez disso e ele lhe dará a resposta certa todas as vezes.)
• O Universo (toda a matéria, energia, espaço e tempo) não pode explicar a si mesmo.
• O que quer que esteja fora do maior círculo não tem limites. Por definição, não é possível desenhar um círculo ao redor dele.
• Se desenharmos um círculo ao redor de toda a matéria, energia, espaço e tempo e aplicar o teorema de Gödel, então saberemos que o que está fora desse círculo não é matéria, não é energia, não é espaço e não é tempo. É imaterial.
• O que quer que esteja fora do maior círculo não é um sistema – i.e. não é um conjunto de partes. De outra forma poderíamos desenhar um círculo ao redor delas. A coisa fora do maior círculo é indivisível.
• O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada, porque você sempre pode desenhar um círculo ao redor de um efeito.

Nós podemos aplicar o mesmo raciocínio indutivo à origem da informação:

• Na história do Universo, nós também podemos ver a introdução da informação, cerca de 3,5 bilhões de anos atrás. Ela veio na forma do código genético, que é simbólico e imaterial.
• A informação teve que vir de fora, já que a informação não é conhecida por ser uma propriedade inerente da matéria, energia, espaço ou tempo.
• Todos os códigos cuja origem conhecemos são projetadospor seres conscientes.
• Portanto, o que quer que esteja fora do círculo maior é um ser consciente.

Em outras palavras, quando adicionamos a informação à equação, concluímos que a coisa fora do maior círculo não só é infinita e imaterial, como também é consciente.

Não é interessante como todas estas coisas soam suspeitamente similar a como os teólogos têm descrito Deus por milhares de anos?

Então é dificilmente surpreendente que entre 80 e 90% das pessoas do mundo acreditam em algum conceito de Deus. Sim, é intuitivo para a maioria do pessoal. Mas o teorema de Gödel indica que é também supremamente lógico. De fato, é a única posição que alguém pode tomar e ficar nos domínios da razão e da lógica.

A pessoa que orgulhosamente proclama: “Você é um homem da fé, mas eu sou um homem da ciência” não entende as raízes da ciência e a natureza do conhecimento!

Interessantemente à parte…

Se você visitar o maior website ateu do mundo, Infidels, na página inicial você encontrará a seguinte declaração:

“O Naturalismo é a hipótese que o mundo natural é um sistema fechado, o que significa que nada que não seja parte do mundo natural o afeta.”

Se você conhece o teorema de Gödel, você sabe que todos os sistemas lógicos devem contar com algo fora do sistema. Então, de acordo com o Teorema da Incompletude de Gödel, o Infidels não pode estar correto. Se o Universo é lógico, ele tem uma causa externa.

Assim, o ateísmo viola as leis a razão e da lógica.

O Teorema da Incompletude de Gödel prova definitivamente que a ciência não pode jamais preencher suas próprias lacunas. Nós não temos escolha a não ser procurar fora da ciência por respostas.

A Incompletude do Universo não é a prova que Deus existe. Mas… É a prova de, para se construir um modelo racional e científico do Universo, a crença em Deus não é somente 100% lógica… ela é necessária.

Os 5 postulados de Euclides não podem ser formalmente provados e Deus também não pode ser formalmente provado. Mas… assim como você não pode construir um sistema coerente de geometria sem os 5 postulados de Euclides, você também não pode construir uma descrição coerente do Universo sem uma Primeira Causa e uma Fonte de ordem.

Assim, fé e ciência não são inimigas, mas aliadas. Tem sido verdade por centenas de anos, mas em 1931 este jovem magricelo matemático austríaco chamado Kurt Gödel provou.

Em nenhuma época na história da humanidade a fé em Deus tem sido mais razoável, mais lógica ou mais amplamente apoiada pela ciência e pela matemática.

Perry Marshall (traduzido para o português por Mateus Scherer Cardoso)

“Sem matemática nós não podemos penetrar profundamente na filosofia.
Sem filosofia nós não podemos penetrar profundamente na matemática.
Sem ambas nós não podemos penetrar profundamente em nada.”

Leibniz

“A matemática é a linguagem pela qual Deus escreveu o Universo”

Galileu

Leitura adicional:

“Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel” (em inglês) por Rebecca Goldstein – biografia fantástica e uma grande leitura

Uma coleção de citações e notas sobre a prova de Gödel’s da Miskatonic University Press (em inglês)

A descrição formal do Teorema da Incompletude de Gödel’s na Wikipédia(em inglês)

Ciência vs. Fé na CoffeehouseTheology.com (em inglês)

Teoria da Informação: “If you can read this, I can prove God exists” (em inglês)http://www.cosmicfingerprints.com/o-teorema-da-incompletude-de-godel-a-descoberta-matematica-n%C2%BA-1-do-seculo-xx/